Selasa, 03 Juli 2012

soal olimpiade geometri

SOAL 10 : GEOMETRI " Garis berat pada suatu segitiga"

ABCD adalah sebuah limas segitiga (tetrahedron) dengan panjang AB = 3, AC = 8, AD = 6, BC = 7,  BD = 5 , dan CD = 4. Jika d adalah jarak antara titik tengah rusuk AB dan CD,  maka berapakah nilai d2.
(Soal dikirim oleh : P. Rizal, Gorontalo)

SOLUSI : (dibahas oleh penulis) 
Sebelumnya penulis mengucapkan terima kasih untuk pak Rizal yang telah mengirim soal tersebut. Untuk dapat memecahkan soal ini pembaca perlu mengingat kembali materi "Garis-garis pada segitiga" meliputi : Garis Proyeksi, Dalil Stewart, dan Garis berat . Bagi yang lupa silahkan  download modul berikut ini:


Diketahui:

AB = 3
AC = 8
AD = 6
BC = 7
BD = 5
CD = 4
Perhatikan gambar berikut
 
Misalkan P dan Q berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB dan CD .
Sehingga AQ adalah garis berat segitiga ACD yang ditarik dari titik sudut A. Menurut rumus garis berat pada segitiga diperoleh:

AQ2 = ½ AC2 + ½ AD2 – ¼ CD2
AQ2 = ½ (82) + ½ (62) – ¼ (42)
AQ2 = 32 + 18 – 4
AQ2 = 46


Demikian juga BQ adalah garis berat segitiga BCD yang ditarik dari titik sudut B. Sehingga diperoleh:
BQ2 = ½ BC2 + ½ BD2 – ¼ CD2

BQ2 = ½ (72) + ½ (52) – ¼ (42)
 
Selanjutnya PQ adalah garis berat segitiga ABQ yang ditarik dari titik sudut Q. Sehingga diperoleh:

PQ2 = ½ AQ2 + ½ BQ2 – ¼ AB2

PQ2 = ½ (46) + ½ (33) – ¼ (32)

 

Karena d = PQ adalah jarak antara titik tengah rusuk AB dan CD, maka nilai d2= PQ2 = 37¼.
Demikian pembahasan soal tersebut. Semoga bermanfaat

Tidak ada komentar:

Posting Komentar